三次根号伪椭圆积分

 2024-01-11   数学 积分 不定积分 椭圆曲线 椭圆积分

我们考虑如下积分的初等性

∫dxx3+ax+b3\displaystyle\int\textstyle\dfrac{\mathrm dx}{\sqrt[3]{x^3+a x+b}}

注意到曲线 y3=x3+ax+by^3=x^3+a x+b 与曲线 s2=t3−64a3−432b2s^2=t^3-64a^3-432b^2 间的双有理变换

{x=−36bt−144ab+(t−4a)s6(t2+4at+16a2)y=36bt+(t+8a)s6(t2+4at+16a2),{s=72x3+72x2y+72xy2+48ax+24ay+36bt=12x2+12xy+12y2+4a\begin{matrix} \begin{cases} x=\dfrac{-36bt-144ab+(t-4a)s}{6(t^2+4at+16a^2)} \\ y=\dfrac{36bt+(t+8a)s}{6(t^2+4at+16a^2)} \end{cases}, & \begin{cases} s=72x^3+72x^2y+72xy^2+48ax+24ay+36b\\ t=12x^2+12xy+12y^2+4a \end{cases} \end{matrix}

于是令

x=−36bt−144ab+(t−4a)t3−64a3−432b26(t2+4at+16a2)x=\frac{-36bt-144ab+(t-4a)\sqrt{t^3-64a^3-432b^2}}{6(t^2+4at+16a^2)}

则

x3+ax+b3=36bt+(t+8a)t3−64a3−432b26(t2+4at+16a2)\sqrt[3]{x^3+a x+b}=\frac{36bt+(t+8a)\sqrt{t^3-64a^3-432b^2}}{6(t^2+4at+16a^2)}

于是

∫dxx3+ax+b3=∫t+8a2t2+8at+32a2 dt+∫18bt(t2+4at+16a2)t3−64a3−432b2 dt=∫t+8a2t2+8at+32a2 dt+b(9−33 i)∫(1t1−4a+c)dt1t13−64a3−432b2+b(9+33 i)∫(1t2−4a+c)dt2t23−64a3−432b2\begin{aligned} \int\frac{\mathrm dx}{\sqrt[3]{x^3+a x+b}}=& \int\frac{t+8a}{2t^2+8at+32a^2}\,\mathrm dt +\int\frac{18bt}{(t^2+4at+16a^2)\sqrt{t^3-64a^3-432b^2}}\,\mathrm dt \\ =&\int\frac{t+8a}{2t^2+8at+32a^2}\,\mathrm dt + b(9-3\sqrt3\,\mathrm i) \int\left(\frac{1}{t_1-4a}+c\right)\frac{\mathrm dt_1}{\sqrt{t_1^3-64a^3-432b^2}} \\&+ b(9+3\sqrt3\,\mathrm i) \int\left(\frac{1}{t_2-4a}+c\right)\frac{\mathrm dt_2}{\sqrt{t_2^3-64a^3-432b^2}} \end{aligned}

其中 t1,t2=−1±3 i2t,ct_1,t_2=\dfrac{-1\pm\sqrt{3}\,\mathrm i}{2}t,c 为任意实数

由熟知结论，当 4a4a 是椭圆曲线 s2=t3−64a3−432b2s^2=t^3-64a^3-432b^2 的一个挠点的 tt 时，存在 cc 使得积分

∫(1t−4a+c)dtt3−64a3−432b2\int\left(\frac{1}{t-4a}+c\right)\frac{\mathrm dt}{\sqrt{t^3-64a^3-432b^2}}

初等，此时原积分初等