二次根号伪椭圆积分

 2025-03-03   数学 积分 不定积分 椭圆曲线 椭圆积分

对于椭圆曲线 y2=x3+ax+by^2=x^3+ax+b，若积分

∫(∑i=1ncix−xi+c)dxx3+ax+b\int \left(\sum_{i=1}^n\frac{c_i}{x-x_i}+c\right)\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^3+a x+b}}

初等，则记 ci=diyic_i=d_iy_i，其中 yiy_i 满足 yi2=xi3+axi+by_i^2=x_i^3+a x_i+b，再记 di, (i=1,⋯ ,n)d_i,\ (i=1,\cdots,n) 在 Q\mathbb Q 上的一组基为 αj, (j=1,⋯ ,m)\alpha_j,\ (j=1,\cdots,m). 于是记 di=ki1α1+⋯+kimαmd_i=k_{i1}\alpha_1+\cdots+k_{im}\alpha_m. 并且 αj\alpha_j 的选取使得 kij∈Zk_{ij}\in\mathbb Z.

再将积分写作

∫(∑j=1mαj∑i=1nkijyix−xi+c)dxx3+ax+b\int \left( \sum_{j=1}^m\alpha_j\sum_{i=1}^{n}k_{ij} \frac{y_i}{x-x_i} +c\right)\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^3+a x+b}}

可以证明 k1j⋅(x1,y1)+⋯+knj⋅(xn,yn)k_{1j}\cdot(x_1,y_1)+\cdots+k_{nj}\cdot(x_n,y_n) 是挠点.

对于椭圆曲线 y2=x3+ax+by^2=x^3+a x+b，若 k1⋅(x1,y1)+⋯+kn⋅(xn,yn), (ki∈Z+)k_1\cdot(x_1,y_1)+\cdots+k_n\cdot(x_n,y_n),\ (k_i\in\mathbb Z^+) 是 tt 阶挠点，则求解两个非零多项式 P(x),Q(x)P(x),Q(x) 满足

max⁡{deg⁡[P(x)2],deg⁡[Q(x)2(x3+ax+b)]}=t∑i=1nki\max\{\deg [P(x)^2],\deg[Q(x)^2(x^3+a x+b)]\}=t\sum_{i=1}^nk_i

以及

dsdxs[P(x)−Q(x)y]∣(xi,yi)=0, (1≤i≤n,0≤s≤tki−1)\frac{\mathrm d^s}{\mathrm dx^s}[P(x)-Q(x)y]\bigg\vert_{(x_i,y_i)}=0,\ (1\leq i\leq n,0\leq s\leq tk_i-1)

（注意到未知数的个数不超过方程的个数, 于是有非零解当且仅当挠点条件成立）

于是存在常数 cc 与系数 λ\lambda 满足

∫(∑i=1nkiyix−xi+c)dxx3+ax+b=λarctanh⁡P(x)Q(x)x3+ax+b+C\int \left(\sum_{i=1}^n\frac{k_iy_i}{x-x_i}+c\right)\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^3+a x+b}}=\lambda\operatorname{arctanh}\frac{P(x)}{Q(x)\sqrt{x^3+a x+b}}+C